• 从一道习题谈间接法在立体几何填空题中的应用 不要轻易放弃。学习成长的路上,我们长路漫漫,只因学无止境。


    在立体几何的证明题中,间接法应用很广泛,主要是利用平移即找已知直线(面)的平行万博娱乐账号登录,万博娱乐账号注册,新万博网址线(面),先证明平行线、面满足题意再对结论进行证明,学生经过一定的训练,大多能掌握。但是在填空题和判断题中,间接法的形式主要体现在构造新平面和新几何体上,由于不重视,讲得也少,学生不易考虑到。其实在不少填空题和判断题中若能使用间接法,可以起到意想不到的效果。

    《高考直通车》配套巩固练习54有这样一道练习题已知直线m,n及平面α,其中m//n,那么在平面α内到两条直线m,n距离相等的点的集合可能是①一条直线;②一个平面;③一个点;④空集。其中正确的是。

    学生给出的答案是千奇百怪,什么样的组合都有。而书中参考答案是①②③④。于是,我思考

    1.为什么学生选不全?

    2.学生基于怎样的考虑作出的解答?

    3.切入点正确吗?

    4.考虑的情况全面吗?

    后来通过与学生的交流发现他们采用的是直接法通过改变平面α与两条平行直线的位置关系得到的结论,只不过考虑不全,综合起来总的有以下四种情况

    情况2m⊥α,n⊥α,此时为一个点;

    情况4m∥α,n∥α,且分布在平面α两侧,为一个平面。

    似乎问题得到了有效的解答。其实不然,引导学生认真分析情况2,追问真的只有一个点吗?为什么?

    学生思考后,解答如下设两个交点分别为A、B,取其中点P,作中垂线,并在中垂线上任取一点Q,连接AQ、BQ不难证明ΔAPQ≌ΔBPQ,从而AQ=BQ,因为Q是任意的一点,所以中垂线上任意一点皆满足题意,与第一种情况相同,故而否定了③。于是引导学生

    1.是否还有哪种情况未考虑到?

    2.能否换一种方式来思考,免去这种因考虑不全引起的苦恼?

    学生开始陷入沉思,但始终走不出困境,于是,老师再次点拨

    到两条直线m,n距离相等的点的集合是?

    学生略加思考后,回答是一个平面。设此平面为β,继而问题转化为

    平面α与β间的关系,学生于是恍然大悟,答案应为①②④。从而否定了参考答案。通过这一题的解答,很大程度上提升了学生学习数学的自信心和积极性,破除了学生对参考答案的迷信,培养了学生良好的思维习惯。最后师指导学生反思

    1.立体几何与平面几何相比,思维空间扩大了,所以思考问题时,视角要从二维平面转化为三维空间,考虑问题要全面,逐步培养自己的空间思维能力,才不致出现情况2中的错误。

    2.方法2的独特之处是什么?由直接变为间接。先找出与m,n等距离的所有点构成的平面β,再找平面α与β间的关系,从而确定结论。避免了考虑不全导致的错解。

    间接法有很多好处,那么什么时候用间接法?通常解答数学题时,采用正难则反策略。即直接求解情况较多,易考虑不全;直接求解繁琐或很困难时,采用间接法。

    为了让学生对间接法有进一步认识,师又给出以下两道练习题

    判断正误

    2.和两条异面直线都平行的两平面平行.

    部分学生按直接法能得到答案,但是追问为什么,却说不清,还有部分学生不能得出结论,师趁机问能不能退一步考虑,采用间接法?

    学生思考后交流如下

    题1先间接求出与n垂直的平面β,再对平面α与β的关系进行判断。

    题2先将异面直线平移至相交就可以确定一个新平面γ,再判断平面γ与两已知平面的关系即可。

    可以看出学生已经掌握了间接法的应用技巧,但还需增强间接法的应用意识。师乘胜追击,又给出了一道练习,让学生能进行知识迁移

    三个平面两两互相垂直,它们的三条交线交于一点O,P到三个平面的距离分别是3,4,5,则OP的长为。

    学生学习了空间直角坐标系,能够想到构造直角坐标系求解。当然也可以看成构造以OP为体对角线的长方体。

    通过以上四个例子,可以帮助学生增强间接法的应用意识,通过对题意的理解,迅速确立解题思路,能够有效地增强学生万博娱乐账号登录,万博娱乐账号注册,新万博网址学习数学的自信心。

    (作者单位江苏省扬州市宝应县范水高级中学)




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